# SIMUW 2006: The Congruent Number Problem

## William Stein

 Notes [PDF]       [HTML]       (comment by Keith Conrad) SAGE SAGE Notebooks          SAGE Main Page          cong.sage DATA First 1000 Congruent Numbers Handouts Koblitz Why are they called ``Elliptic Curves'' Geometric Proof of Associativity Book Elementary Number Theory (see mainly Chapter 6)
2006 is the area of a right triangle with rational side lengths...
 Ten Triangles with Area 2006 Are there infinitely many such triangles?

The first few triangles with area 2006:
(yes, the side lengths are huge!)
```2608039/53430, 214361160/2608039, 13320805745521/139347523770
1096292682768580/89598005203437, 5286282307002783/16121951217185, 473970003717484279677323566421/1444494669046899105695464845
84913064761177931647318559/3712442590519080237068340, 14894319673162549911118180080/84913064761177931647318559, 55762422389013803519428353258482450280167593410156481/315234878110901825802045825733466627868996233322060
1060906838709427440516351853707632258006300/17057675849220703606218823672724068607283, 1006402875104021512766910596690720047829697/15601571157491580007593409613347533205975, 23846693303611761611740400493200164768822262512210855596176575257704558637246164501/266126543543042422733515318496424223840561094670028557337389273736113914224115925
224022797208575600459522987683414508048544546652537524169241/1369294287316089986772050185243335404130558874681655939490, 5493608680712153026929465343196261641371802205222803629233880/224022797208575600459522987683414508048544546652537524169241, 50746842734072796345936654034713992702175134087460176232698757833037392839603931494713452414318970144665731040785636081/306753136446273480123115744492874019081784018639267887033895109209573098979294079953189590982199491024696555615227090
5212435693081339287030727743154220605399981733399894984882996009956322796589707980/13772670895206590213197043997224923943788027110853570557685993205597223282027363, 812587582817188822578625595836270512683493599540360662903473599130236173639614417/76653466074725577750451878575797361844117378432351396836514647205240041126319235, 399707969798987382361231902337448933022297137567526087243767909856722241654618583437900567605539505792462914689387085759513106988299920762440120034416567902093621/1055722961224078715694378097539481319742115384236257760694783949150049969667551696811364204746781239589244416986486375805155101701962572121550508351768743227305
3005472958710099865482284849618343966686405480505500101009862602412964342135075583582629297130242205376639/35156520849938778693698952879139135807848972106280339155243785351125385912998035761183936126422138541720, 141047961649954380119120198951106212861090076090396720690838066828715048282948119473869951739205619829380640/3005472958710099865482284849618343966686405480505500101009862602412964342135075583582629297130242205376639, 10304462923014358908972227794430358297169733524823796917128428567011028762880045846228283453366544762677241060496813226903241489042324957210269943730745879616666867171128433200621062418027700208941559700472856321/105661972736818816045825437251046315878877112069227785628286737672327667559275050463751928991739611696742904578601376239331215808209658253920640179200956560973443256632244571990948969299863374048605130814879080
165977828856101312618839735435987526605767017960773011753312160231441389214310573377458326218927701016531615812564186019415829669004940/4471434037377503623856081371070976826658266133098311381563293105970298782576202756116998146366984301360427564634389132059316521250397, 263814608205272713807508800893187632772837701852800371512234293252247628171995962610902890635652073780265226313428958791499674753773423/2440850424354431067924113756411581273614220852364308996372237650462373370798684902609681267925407367890170820773002735579644553955955, 1247258580713133186058452201333011153219901459901168847065467221708180267927827417235188081987566912111085173413545304850496866234577935938949841955255410769560310940563101129415428160782181462569114745215304498101621116575934945893368274285605592602523745252808000181/10914101667605726709370592925584300475961577751542240124645528283368989109256348142624537524330326236778752323076490770745209224906099511903399444484768600432269015546804691202633787541455332266859688382418436979911911409363391370226805403430458019260295209464264135
20739718882338472101528676570496414658664802212566260409939636298992089479685394480815160545079203819157942676359739163024773225146497053178651610601348619940079001/12692476127642427275298016407404627315239603582408711005504229755457857450137350679646631426449456161903759443979191989668977561678020322698297282044261047687556850, 50922214224101418228495641826507364788741289572623748554082969778896924089951050926742285282915218121557882889244518262551937977452217534665568695561575323322478082200/20739718882338472101528676570496414658664802212566260409939636298992089479685394480815160545079203819157942676359739163024773225146497053178651610601348619940079001, 646329131535149050383282370208957240951511038211274324075737990456192836988369507919001880367571282156348635983546754816101913771612485813279264676699777511234667410302749013892175448686953812786659560837579449892222928296338179929566087260828913829743991005333028380257823639032347394264645036423965214987196405499848278571158001/263238386808095940174335774348674990601488256073616388992046724566431361252562630916870512408760740513646227554616810066436879058476643246992128555909962481474623833263459356788187413181846524172494027064937322827368433185781993323885803816779560164727544373798739285364712119460128872336773553314669426618118724821953678706850
140307434789813624881437358128581107271015114082017166849959928295041194266166570483665662877355588539012696318027192702345741849119208095352474429284190561197272009468827560084614593604913758290244260/4164025963459280967438387338076255218438654949076129675016656525923025568661526941262888811297886120553005874575691917805115352856360206003255755511122533563395797806886258603566216567346809123644403, 245677531844097577078864852946499057887880641995491650825982735029458508551030089534510439866575281112627346599965823150501805818525252154192089575156229480240352070606289257610406777473461738295019777/2063344629261965071785843501890898636338457560029664218381763651397664621561273095348024454078758654985480828206282245622731497781164824931654035724767508252901058962776875883597273435366378798385945, 1063182178131107774237093471996980818321405863853771532885834163643406108317920151406228655051760475212696344611316473602976217712738554332281078207504836090193853710480909190593903119885150689300134108054268469367416284819349828688985512183466319849849405683444910626378975037359720675302014669341213759529899697727498529158880133987801893208898838886434546368939734149669128953619790908432848159381/8591820607811087004801647091774658703461522287345038100412548349876282790304715375475148163670416925664007184068081959646195915161285389494566050277235623995328496974124310932295705121182491366470012545366704906881170786837156419040396117259461650399443522703998711615254098688009645814506392674075279707090365422923024849249694454234416073667527729116604883056991296306854727275238997792533115835
2462070037415360633467236783259355786178552016058506023942397347384812048903133928675608110612780387785906725326530043204030135084748601955786243616087124378922457341247995027838776007444313826155135486055457845952309842846071056950158561/31133506346845228887201052409992342772890702748870683486659813617398388722705116871777065435068223863843193985081912795657325117667924201231882923207690315248926605335217167701557885456797637531388945552356612065962413259238309825268580, 124907627463543058295450622268889279204837499428469182148479172233002335555492928889569586525493714141738894268148634136177188372083711895342314287909253544778693540604891276818650236452672121775932449556054727608641201996064099018977542960/2462070037415360633467236783259355786178552016058506023942397347384812048903133928675608110612780387785906725326530043204030135084748601955786243616087124378922457341247995027838776007444313826155135486055457845952309842846071056950158561, 7201954337045671391703390023465242488413084804996970603399152116241345398843593923254405996906426839019211694138723803490309547167922835483104390810941865296077732503405830282613720747291001500731946919360369657110175651928478824911116767232512994313932054619516899103537420945183191526228311233755320070054696866979097024279253872000546137192860245610512965999701913642255777166471758603322959894803881976417296252984171133776296166539039150572979261382999742330057568310721/76652873136248600437866435114211203227083763019017565038991584564294699159239609221573913968388213177134663212720331678807795601051471199551956574484097750153935323806741722568413316262845737331134809896880782178597467919851092707245310420956095485173423316386340969933927219558736415630326456947734069764282399531478599731295199868716914759018895308766753824974341178571748646055214035465532932893344301605200182415063951730413488591211185040911239369715383869835411313380
3993555690934393004435539502015165298702852785353371295507724219789495941219134542042347068996783533590283762716026244003662959986919453629030244099166936601800051052888341847122895973860957057572165572904995795448272606872384162205371789911207187999456603182604393954840416450820/13807413262884756077120094999559510199841131015543248149404796586782611700984053273552196274198367763137577445429601582465582615937865155457503598855308263210831408100549116576772874030936948474962442547047414980019361954407321013171318426669392279576080360367513094704632600237, 814637382510200608550085604974011101790626729917051640814882998620174090358059143139579580177703698025117069280346493365469374340334044171992712332463187529439053077932397878029599567825279960022784110275797483821142355310031939777107787173494144494988741261683272587573323413983/58728760160799897124052051500223019098571364490490754345701826761610234429693155030034515720540934317504172981118033000053867058631168435721033001458337302967647809601299144810630823145014074376061258425073467580121655983417414150078996910458929235286126517391241087571182594865, 234806139197143348375798753512721710011374434701957522796478895228059034321545183070372749658043988863253155952133241202734030853448204881976007867384858377347219233024838448202701919832251470438832889582955878630697955934936034337460661076548791645920242494259163115398043893991145636407511157740334377705567809425050366483951133513443563428504386817897508199809845486783407987836291278281686822063035157715175253488128416630626962038377885573601699803896404648377515509264899393146004756104871231245445830115113877592814944180155857069586934467583743915221/810892261957006379532868191649608029106736964437760585146081349148007086220232626226118606313587157610538093386712588108153144424359525027611699561163355219638030294334136021081904026856355432261900433299906719085370094927161909557661631714350427251747545201480918992186044011447522032784105978081523538758012420292737018630581290570635133432943345119842077629875498225401467386345893492846989179750631691743559645581332881705696122272142831737959705312523649909941037663591425933153880029111170200699031912295500702955563444921021461618876958841873983005
159515961715819231380484354271024181032067475448887704959874730659462704966241557683205165430832429193418077059566927852816251276749635575423070730682545847897000228063143640937172105327207771891469296166703218854714361110624923220531704184965237406815195570770707088618266346162272117002284148847340529108142309833395288359/843961763002103165266806552248924466797948305590805568474722534577605432830963455191639422778947231602941643468904764246190817305583658898897514277675165381710729461564263395201677046507470134940665183442524245852013478342927617694772084956541637163620792290301480647905684888909158039981640502940419652292188947587042810, 3385974593164437899050427887622684960793368602030311940720586808725352996517825382228857364189136293191001873597245914155717559030001639502376827282032763511423446599795824741549128310587970181381948715971407274358278075111825602191425604845645048300446618668689540359397607774303542056406341697796963644996262057719215753720/159515961715819231380484354271024181032067475448887704959874730659462704966241557683205165430832429193418077059566927852816251276749635575423070730682545847897000228063143640937172105327207771891469296166703218854714361110624923220531704184965237406815195570770707088618266346162272117002284148847340529108142309833395288359, 25605302156023516917845081569200350785009616172299697966007028124060304761090076762786036135589184010006200430219418904665095612457588287804878822860943040825935518693021345660093877776102300705708167310408276826177484515876534456692154856005599139084998281925276424774038500177456547627380710468082139330896846560891096416072790831594868779423261606495487486990727963424713909224508701036289788871489670903977566158610736476316104574913839077074151109320442101218670250720322201070673007131718686057972363532329738196148909903871809285253105357614855384764082845230297842318408093579075834282901409569215938950605208050259209569909018664358432881/134625372276658791935360454152325642712194712629244503825788377750841056477531520660732528232685563118995494040465358506510396985771630632201678923064096078760233649744709904254742795550270036317971069378461317201067957576254071352566507792010140503365631302590404433239199908454310982764564307790152927536040687815301043831177998870870662246533331592907079255603802403402606677469746436357657766959428533678171557603386906817916244927417484441840416589955895462122723989273695575543119695833015015690679497234983295080442850987517945294127188663557078379630543256922106808798369891739175007894448286142072718493287145908601252864569892027648790
710719555258110795934518369903374428317888084778714117052249368164980125964225691295749966942752313112903967369890400161212214234673271849400252239696323945118228866835569476298708115831495114915340546997495064033687985427526616416225125366421818806032566794776679284084649219240535257513526376631714935264685107951982805745763872308146025579708200850595313864531160218900/10622518143699649669076499466963539947652039140701180401883009029063655518695296244027535485054140393706112195610820758736530434265345628427391448142006270241532687502634183821575516636395613815200524547920014707841427459145945420292465083229882893163616098692601064337238883835252133758965747543788859638941056852435938822975985391800881859517306604819675813013412678717, 626728570478279330475513468550848856911470309301369643711097532714755675603022478397624593618194283228660619541038424765455295621655392077216095440378369944250428562655416845472955481547341215096830948327280867762644220089610779797255439910563090696653349822863462795897094146279875891778979105083542718697522354293720390555583138116252029711521089684360872967791348044303/10451758165560452881389976027990800416439530658510501721356608355367354793591554283761028925628710486954470108380741178841356091686371644844121356466122410957621012747581904063216295821051398748755008044080809765201293903345979653179781255388556158912243629334951165942421312047654930257551858479878160812715957469882100084496527533943323905583944130155813439184281767925, 9975000149905320052893782601550222981882642926059241935012288111374955924239694239471630162755252243549520640974559201938144103161450035405913080536309401513095562710371297756365814866626955847575357416673868645320251987403215369500541633266729406030204688583645995211848311057266236016922768988654486942662880910806498840662980475997863484039976310601056365381207087027418459839151562360966828413168693068911247498159554109113309026108481202144753821577443910981552771909450559404630926572979837723113354684936623747826102304051458729205089350540256109652683517872406070601008021385615398745037673623129956930401509081630261454752610402169169556965701631845964178489639968491502303452953104043655155353702173215433323779681395680155234480501/11102399074722687763766361940211914700048295404045269705370099700142263911515846850803496095063760332964691260499783261215735885422265480921375976051036525883717541438081504095838472451963837426296162566047509682283167754233487177487919961039354944764653543070871837918170545082875527967235634384443247060783724256821551419126712986116980558874991346024414079929402986751676106528017270209141985654094288877406607862522543884822012126165776946957779391387312692917323709459148869899042862233338094825516594739728521066802845607810262039321155493029544904023823654231526787281956902569620129699347473744639995614520479039644066377498908185587970556656536107799361664638
```