DATA FOR E=53A1, D=43, ell=5:

w = Sqrt(-43);
The generator a of the ring class field K[5]/K is a root of the polynomial:
z^6 - 12*z^5 + 1980*z^4 - 5855*z^3 + 6930*z^2 - 3852*z + 864

Generator of the Galois group Gal(K[5]/K):
a |--> 1/1601320*(54795*w + 47343)*a^5 + 1/2401980*(-936861*w - 614771)*a^4 + 1/600495*(40541607*w + 34507457)*a^3 + 
1/4803960*(-767102463*w + 102487877)*a^2 + 1/400330*(52833377*w - 61171198)*a + 1/200165*(-7453713*w + 18971815)
(a : 4/315*a^5 - 46/315*a^4 + 7897/315*a^3 - 2167/35*a^2 + 365/7*a - 579/35 : 1)

Heeger point y_5 (on the original model):
(a : 4/315*a^5 - 46/315*a^4 + 7897/315*a^3 - 2167/35*a^2 + 365/7*a - 579/35 : 1)

Heeger point y_5 (on the Weierstrass model):
(36*a - 9 : 96/35*a^5 - 1104/35*a^4 + 189528/35*a^3 - 468072/35*a^2 + 79596/7*a - 121284/35 : 1)

Derived Heeger point P_5 (on the Weierstrass model):
(1/13392522196519351140065990415157909013061666776264343983270948032470988216479750176195*(-144764153895713552088520505540754787778\
72499629863046182330271378476264737133505599162057*w + 1349095375460646362236972162170373970875939544675336145529915497311332862889\
    34108139674845)*a^5 + 1/13392522196519351140065990415157909013061666776264343983270948032470988216479750176195*(155388961660\
    820554014001760753707289369107120993775811345108172128292926763130286500065282*w - 
    1533445924038218463181939491144822819872690941520811744249353948766744100966717244879818506)*a^4 + 
    1/13392522196519351140065990415157909013061666776264343983270948032470988216479750176195*(-284626967247120589422524240917143291\
    35746488298610960889040989545160220526541806873851770616*w + 266131531159808400917656927785092067257947243027938996156879311061\
    071678119657711463380879008)*a^3 + 1/13392522196519351140065990415157909013061666776264343983270948032470988216479750176195*\
    (48683950781123939824240337038088544047034506567376178591107290516462319732577972214419988313*w - 
    621110053790011080991822472948724424664425440395046961558178358096650852036118654120060745509)*a^2 + 
    1/13392522196519351140065990415157909013061666776264343983270948032470988216479750176195*(-310849279644990373608012984288157735\
    03291132083350421285098292337146727116567990735657045174*w + 506362657807989087450287743632015695275848129992539369710460197625\
    233180683108074159498003602)*a + 1/13392522196519351140065990415157909013061666776264343983270948032470988216479750176195*(6\
    571760625478743780044648020386996443646352361981426967782787443890249991284666068549895236*w - 
    153486530310440291537370379548541279657999421814934252101573399647813401056801646467155392791) : 
    1/28983345358957629354047575258958104659220884134806629634947402169076944003996921156255121876606320217845662769581917781304424\
    5*(-629845834374308220959814798032539017243454334391984867879190036248761045147914147521384202486900863391299685249923556911765\
    423328041*w - 29061036712200772784486115205658626894409024409152127818305406820700032452247560559809258619496148076012719667617\
    87017353219460850481)*a^5 + 1/2898334535895762935404757525895810465922088413480662963494740216907694400399692115625512187660\
    63202178456627695819177813044245*(715912343726950021106652362105138172180816197803455229823172758742195478959303160846356177829\
    5507428515312692896306514762725010714042*w + 3119372180486550592037442524684671664441179520767975144437198296187379271083587181\
    2887845601285419259465225681864737991585237296758318)*a^4 + 1/28983345358957629354047575258958104659220884134806629634947402\
    1690769440039969211562551218766063202178456627695819177813044245*(-124247576106759182983955414881595921041354676672789849289211\
    2216944013431541547096288177546246176451960553043780799542230989832258580792*w - 
    5713811903188072231951718161456266293421178175016311874101588602977017744418517625254416818699377497522974001823717627764969232\
    378656240)*a^3 + 1/289833453589576293540475752589581046592208841348066296349474021690769440039969211562551218766063202178456\
    627695819177813044245*(28997401306275731367069156866233772592941868388151749553378599442279809157945292039907140887213387031741\
    23455227277022574260838049536849*w + 977275152423710991136210071664272259588392771595240347812041815589684347094196857513239627\
    0361560569027691861439252840435380384316135413)*a^2 + 1/28983345358957629354047575258958104659220884134806629634947402169076\
    9440039969211562551218766063202178456627695819177813044245*(-236400999641612754666694099754294528784217160178507861894665956709\
    4135231270626010743278917985400601396984910684342649369061295819822566*w - 
    6239624642506932033492814232857901167808519020460671643003590729024756470541644711018841049546111645027578909723330721305575294\
    515704818)*a + 1/28983345358957629354047575258958104659220884134806629634947402169076944003996921156255121876606320217845662\
    7695819177813044245*(7165621449195981452157878773367564566645433005639627410056647837756184285503375428589091990905661274401727\
    96681784641981914307263629092*w + 131900904931344773947693853535195097586558245918648779608021672163762394657573176749924006506\
    1884099175442169413141865395614766956916288) : 1)

Polynomial phi_m - X(Pell)psi_m:
x^9 + (1/13392522196519351140065990415157909013061666776264343983270948032470988216479750176195*(1302877385061421968796684549866793\
    09000852496668767415640972442406286382634201550392458513*w - 121418583791458172601327494595333657378834559020780253097692394758\
    0199576600406973257073605)*a^5 + 1/13392522196519351140065990415157909013061666776264343983270948032470988216479750176195*(-\
    1398500654947384986126015846783365604321964088943982302105973549154636340868172578500587538*w + 
    13801013316343966168637455420303405378854218473687305698244185538900696908700455203918366554)*a^4 + 
    1/13392522196519351140065990415157909013061666776264343983270948032470988216479750176195*(2561642705224085304802718168254289622\
    21718394687498648001368905906441984738876261864665935544*w - 239518378043827560825891235006582860532152518725145096541191379954\
    9645103076919403170427911072)*a^3 + 1/13392522196519351140065990415157909013061666776264343983270948032470988216479750176195\
    *(-438155557030115458418163033342796896423310559106385607319965614648160877593201749929779894817*w + 
    5589990484110099728926402256538519821979828963555422654023605222869857668325067887080546709581)*a^2 + 
    1/13392522196519351140065990415157909013061666776264343983270948032470988216479750176195*(2797643516804913362472116858593419615\
    29620188750153791565884631034320544049111916620913406566*w - 455726392027190178705258969268814125748263316993285432739414177862\
    7098626147972667435482032418)*a + 1/13392522196519351140065990415157909013061666776264343983270948032470988216479750176195*(\
    -59145845629308694020401832183482967992817171257832842710045086995012249921561994616949057124*w + 
    1381378772793962623836333415936871516921994796334408268914160596830320609511214818204398535119))*x^8 - 4860*x^7 + 
    (1/2678504439303870228013198083031581802612333355252868796654189606494197643295950035239*(4221322727599007178901257941568409611\
    6276208920680642667675071339636787973481302327156558212*w - 3933962114843244792283010824888810499074239712273280200365233590159\
    84662818531859335291848020)*a^5 + 1/2678504439303870228013198083031581802612333355252868796654189606494197643295950035239*(-\
    453114212202952735504829134357810455800316364817850265882335429926102174441287915434190362312*w + 
    4471528314495445038638535556178303342748766785474687046231116114603825798418947486069550763496)*a^4 + 
    1/2678504439303870228013198083031581802612333355252868796654189606494197643295950035239*(82997223649260363875608068651438983759\
    836759878749561952443525513687203055395908844151763116256*w - 77603954486200129707588760142132846812417416066947011279346007105\
    4085013396921886627218643187328)*a^3 + 1/26785044393038702280131980830315818026123333552528687966541896064941976432959500352\
    39*(-141962400477757408527484822803066194441152621150468936771668859146004124340197366977248685920708*w + 
    1811156916851672312172154331118480422321464584191956939903648092209833884537321995414097133904244)*a^2 + 
    1/2678504439303870228013198083031581802612333355252868796654189606494197643295950035239*(90643649944479192944096586218426795535\
    596941155049828467346620455119856271912260985175943727384*w - 14765535101680961790050390604309577674243731470582448020757019362\
    75179954871943144249096178503432)*a + 1/267850443930387022801319808303158180261233335525286879665418960649419764329595003523\
    9*(-19163253983896016862610193627448481629672763487537841038054608186383968974586086255891494508176*w + 
    447562598431240924797783206699144228073867085538522530759251002343304617903220495775345269722684))*x^6 + 
    (1/13392522196519351140065990415157909013061666776264343983270948032470988216479750176195*(167164380012920684284489814486109020\
    62045378732589534496399328250496168037498595721553997051952*w - 155784899747792493774407228665596895763339892606021895934463250\
    170329926476138616296775571815920)*a^5 + 1/133925221965193511400659904151579090130616667762643439832709480324709882164797501\
    76195*(-179433228032369283259912337205692940496925280467868705289404830250736461078750014511939383475552*w + 
    1770725212540196235300860080246608123728511647047976070307521981383115016173903204483542102344416)*a^4 + 
    1/13392522196519351140065990415157909013061666776264343983270948032470988216479750176195*(3286690056510710409474079518596983756\
    8895356911984826533167636103420132409936779902284098194037376*w - 
    307311659765352513642051490162846073377172967625110164666210188137417665305181067104378582702181888)*a^3 + 
    1/13392522196519351140065990415157909013061666776264343983270948032470988216479750176195*(-562171105891919337768839898300142129\
    98696437975585698961580868221817633238718157322990479624600368*w + 
    717218139073262235620173115122918247239299975340014948201844644515094218276779510183982465026080624)*a^2 + 
    1/13392522196519351140065990415157909013061666776264343983270948032470988216479750176195*(3589488537801376040586224814249701103\
    2096388697399732073069261700227463083677255350129673716044064*w - 
    584715190026566086885995467930659275900051766235064941621977966764971262129289485122642086687359072)*a + 
    1/13392522196519351140065990415157909013061666776264343983270948032470988216479750176195*(-758864857762282267759363667646959872\
    5350414341064985051069624841808051713936090157333031825237696*w + 
    177236487965810179011294045078086698495440396372086707837533116896234986264342172277627829161454426))*x^5 + 
    (1/2678504439303870228013198083031581802612333355252868796654189606494197643295950035239*(1424696420564664922879174555279338243\
    9243220510729716900340336577127415941049939535415338396550*w - 1327712213759595117395516153399973543437555902892232067623266336\
    67894823701254502525660998706750)*a^5 + 1/2678504439303870228013198083031581802612333355252868796654189606494197643295950035\
    239*(-152926046618496548232879832845761028832606773126024464735288207600059483873934671459039247280300*w + 
    1509140806142212700540505750210177378177708790097706878103001688678791206966394776548473382679900)*a^4 + 
    1/2678504439303870228013198083031581802612333355252868796654189606494197643295950035239*(28011562981625372808017723169860657018\
    944906459077977158949689860869431031196119234901220051736400*w - 
    261913346390925437763112065479698357991908779225946163067792773980753692021461136736686292075723200)*a^3 + 
    1/2678504439303870228013198083031581802612333355252868796654189606494197643295950035239*(-4791231016124312537802612769603484062\
    3889009638283266160438239961776391964816611354821431498238950*w + 
    611265459437439405358102086752487142533494297164785467217481231120818936031346173452257782692682350)*a^2 + 
    1/2678504439303870228013198083031581802612333355252868796654189606494197643295950035239*(30592231856261727618632597848719043493\
    263967639829317107729484403602951491770388082496881007992100*w - 
    498336809681732460414200682895448246505725937132157620700549403492873234769280811184069960244908300)*a + 
    1/2678504439303870228013198083031581802612333355252868796654189606494197643295950035239*(-6467598219564905691130940349263862550\
    014557677044021350343430262904589528922804111363379396509400*w + 
    151053351254677012677327691001176183355273134096192687183408586871636483617737013456709394430105610))*x^4 + 
    (1/2678504439303870228013198083031581802612333355252868796654189606494197643295950035239*(2708062956209315085408734994674966134\
    051351354679504588416691176580379222074772506891747522416224*w - 
    25237153759142383991453971043826697113661062602175547141383046527593448089134455840077642634179040)*a^5 + 
    1/2678504439303870228013198083031581802612333355252868796654189606494197643295950035239*(-2906818294124382388810579862732225636\
    0501895435794730256883582500619306694757502350934180123039424*w + 
    286857484431511790118739332999950516044018886821772123389818560984064632620172319126333820579795392)*a^4 + 
    1/2678504439303870228013198083031581802612333355252868796654189606494197643295950035239*(53244378915473508633480088201271136861\
    61047819741541898373157048754061450409758344170023907434054912*w - 
    49784488881987107210012341406381063887102020755267846675926050478261661779439332870909330397753465856)*a^3 + 
    1/2678504439303870228013198083031581802612333355252868796654189606494197643295950035239*(-9107171915449093271855206352462302505\
    788822952044883231776100651934456584672341486324457699185259616*w + 
    116189338529868482170468044649912756052766596005082421608698832411445263360838280649805159334225061088)*a^2 + 
    1/2678504439303870228013198083031581802612333355252868796654189606494197643295950035239*(58149714312382291857496841990845157871\
    99614968978756595837220395436849019555715366721007141999138368*w - 
    94723860784303706075531265804766802695808386130080520542760430615925344464944896589868018043352169664)*a + 
    1/2678504439303870228013198083031581802612333355252868796654189606494197643295950035239*(-1229361069574897273770169141588074993\
    506767123252527578273279224372904377657646605487951155688506752*w + 
    28712339850047165594508030914060478611096392079106503399031332500919850522734057348030933854311857580))*x^3 + 
    (1/13392522196519351140065990415157909013061666776264343983270948032470988216479750176195*(524656424322870601035608215047880654\
    766380559612850837817229180335441879058554505340879585337206852*w - 
    4889411754995664825798849458252288171486448367096487536516358639192507914450606109289587832614982420)*a^5 + 
    1/13392522196519351140065990415157909013061666776264343983270948032470988216479750176195*(-563163012460529492577631546360474032\
    6024963810055276774427365886966574543624098381603145874064762952*w + 
    55575377864464142156072578276319958500391795470731737859920643707014976381151339418009833034828768616)*a^4 + 
    1/13392522196519351140065990415157909013061666776264343983270948032470988216479750176195*(1031549336511258918968411390617581377\
    674542094076972134379135846865999928045863295565394745430036388576*w - 
    9645178988056797622994322825424894979672753998370017249748445847771398541791604387683331522173850447488)*a^3 + 
    1/13392522196519351140065990415157909013061666776264343983270948032470988216479750176195*(-176441106802831353627112969435374767\
    5240836846697877434301712954713983526273622159094837264925107854468*w + 
    22510364006769633551412610150413211112995655628302843250076209020258298807260589168165092744195489391924)*a^2 + 
    1/13392522196519351140065990415157909013061666776264343983270948032470988216479750176195*(1126584635581597379407345067161271700\
    635979950069532059118508755929577715163697628263936940499355795864*w - 
    18351671619449930510019688076198513854100422444678895394699120245123990883895972067734770904785353870472)*a + 
    1/13392522196519351140065990415157909013061666776264343983270948032470988216479750176195*(-238174737217982086596677428351535120\
    048828098685594803204331107912882349257786556556409991515151722896*w + 
    5562683612489539168261735251976309725652757013593915487054909543618626953438279676276597099329977918876))*x^2 + 
    (1/2678504439303870228013198083031581802612333355252868796654189606494197643295950035239*(-182794249544128768265089612140560214\
    048466216440866559718126654419175597490047144215192957763095120*w + 
    1703507878742110919423143045458302055172121725646849432043355640612557746016575769205240877807085200)*a^5 + 
    1/2678504439303870228013198083031581802612333355252868796654189606494197643295950035239*(19621023485339581124471414073442523043\
    33877941916144292339641818791803201896131408688057158305161120*w - 
    19362880199127045833014904977496659832971274860469618328812752866424362701861631541027532889136188960)*a^4 + 
    1/2678504439303870228013198083031581802612333355252868796654189606494197643295950035239*(-3593995576794461832759905953585801738\
    15870727832554078140188100790899147902658688231476613751798706560*w + 
    3360452999534129736675833044930721812379386400980579650625008407282662170112154968786379801848358945280)*a^3 + 
    1/2678504439303870228013198083031581802612333355252868796654189606494197643295950035239*(61473410429281379585022642879120541914\
    0745549263029618144886794005575819465383050326900894695005024080*w - 
    7842780350766122546506593013869111033561745230343063458587171187772555276856583943861848255060191623440)*a^2 + 
    1/2678504439303870228013198083031581802612333355252868796654189606494197643295950035239*(-3925105716085804700381036834382048156\
    35974010406066070219012376691987308820010787253667982084941839840*w + 
    6393860602940500160098360441821759181967066063780435136636329066574960751383780519816091217926271452320)*a + 
    1/2678504439303870228013198083031581802612333355252868796654189606494197643295950035239*(82981872196305565979486417057195062061\
    706780819545611533446347645171045491891145870436703008974205760*w - 
    1938052840019147596840183057770809908576555047246217029556300203533928915043323374580585763380269055105))*x + 
    1/2678504439303870228013198083031581802612333355252868796654189606494197643295950035239*(77895276794373054658418868809897818486\
    562308142414727152610790235444146657690544409883362683137125*w - 
    725926652873058630435998456871435534874483689906327882973020869579214948586608992559051510429155625)*a^5 + 
    1/2678504439303870228013198083031581802612333355252868796654189606494197643295950035239*(-8361231598866298774632704860841984251\
    42277532066538760940188275053325228080737816202297084505040250*w + 
    8251227357582547940205215189274144815186622809859212356028161732851290924088763440778778219802353250)*a^4 + 
    1/2678504439303870228013198083031581802612333355252868796654189606494197643295950035239*(15315322060203672582783690143121314225\
    1081276065008840116557429314303614163064781916822420632868767000*w - 
    1432011221392384830969815218010250772320761250417860646573156991739770811127338765107832301924016596000)*a^3 + 
    1/2678504439303870228013198083031581802612333355252868796654189606494197643295950035239*(-2619605558065967880043578531780704911\
    11113160197313757732196076991012423067634822582486176716621459125*w + 
    3342093899474199948795423159319223451801880069748464542011578631153077532751385203350219426872240748625)*a^2 + 
    1/2678504439303870228013198083031581802612333355252868796654189606494197643295950035239*(16726302767411099575487372873787137029\
    9420743070766791286510955976699137281254596841051696911196806750*w - 
    2724656506934872227314642233730863287770056561270071791180253863597284411101042835148902507639036130250)*a + 
    1/2678504439303870228013198083031581802612333355252868796654189606494197643295950035239*(-3536159326547112186625841635960016849\
    2204594099238186733002704962430843249385431478879276850415144500*w + 
    826616479111649303108358465278955316377958423271568786872365894102426635198899212332257873668302654987)